【2016年02月05日】付广军：供给学派税收理论之数理解析（二）

付广军老师

付广军：供给学派税收理论之数理解析（二）

从拉弗曲线到FL曲线的理论探讨——对不同形态税收税率曲线的分析

  内容提要：本文从单位时间内劳动收入对经济活动参与者的效用与单位时间闲暇对经济活动参与者的效用的相对强弱出发，引出了三种形态的税基税率曲线：直线型、凸离原点型、凸向原点型，给出了三种形态的税基税率曲线对应的税收税率曲线的函数形式和相应的计算与推导。并且在三维空间坐标系中，更直观地展示了税率、税基、税收三者之间的图形关系，将描述三者之间关系的税收税率曲线命名为FL曲线。

关键词：拉弗曲线；税收税率曲线；FL曲线

  引言

  以0%作为税率起点、50%作为税收最大化税率、100%作为极限税率的拉弗曲线事实上是当税基税率曲线为直线时的税收税率曲线一种特殊形式，而直线型的税基税率曲线本身就是一种相对特殊的情况。因此，本文试图对一般意义——非直线型的税基税率曲线以及相对应的税收税率曲线作进一步的探讨。

一、理论规范界限

  为了规范税基税率曲线、税收税率曲线的论述，做如下假设：

  1、研究主体为一封闭经济体，且为无摩擦市场。在该假设条件下，经济体内部的经济生产活动将以自身经济资源为限存在一最大值。并且经济体内部税率的变化将不会得到任何外部经济资源的投入或者引起自身经济资源的外流。

  2、经济活动参与者将斟酌单位时间内劳动收入和单位时间闲暇对其自身的效用进而分配自身经济资源，并追求总效用的最大化。正是在该假设的条件之上，才会出现下文中阐述的税基和税率之间的负相关关系。因此，这条假设事实上是最为重要的一条。

  3、只考虑经济活动参与者的劳动收入，不考虑资本性收入。因为资本性收入的税前值并不受税率变动的影响，作为税基的一部分来说，短期内税前资本收入是固定的。长期来讲，资本产生收入的前提仍然是有经济活动参与者进行生产活动并获得劳动收入，否则资本将不会带来任何收入。因此，本文只考虑劳动收入。

  税基税率曲线描述的是税基(国民产出)和税率之间的函数关系。设税基税率函数为：

   式(1)中，G代表税基，r代表税率(在下文的论述中，G和r的含义均与此处相同)。式(1)表明，税基是税率的函数。

  假设经济中不存在外部性问题和公共品，则税基税率曲线的具体函数形式主要决定于单位时间内劳动收入的效用和单位时间闲暇的效用的相对强弱。并且，笔者认为单位时间内劳动收入对经济活动参与者来说具有两方面效用：1、提高生活品质的效用；2、维持生存状态的效用。当单位时间内劳动收入较高时，其效用主要体现为提高生活品质的效用；当单位时间内劳动收入较低时，其效用主要体现为维持生存状态的效用。

  单位时间内劳动收入的效用和单位时间闲暇的效用的相对强弱变化通过两种方式影响税基税率曲线的具体形式：

  1、对于单一经济活动参与者而言，其单位时间内劳动收入的效用相对于单位时间闲暇的效用发生变化，经济活动参与者认为此时工作单位时间所获得的劳动收入的效用大于闲暇的效用，经济活动参与者将选择工作，税基(国民产出)将增大；而如果由于税率的提高，经济活动参与者认为此时工作单位时间所获得的劳动收入的效用小于闲暇的效用，那么经济活动参与者将选择闲暇，税基将减小。

  2、对于不同的经济活动参与者而言，面对同样的税率，同样的单位时间劳动收入所带来的效用是不同的，单位时间闲暇的效用也不同，当大多数经济活动参与者认为工作单位时间所获得的劳动收入的效用大于闲暇的效用，经济活动参与者将选择工作，随着税率的提高，逐渐有经济活动参与者选择闲暇而非工作时，税基就逐渐减小。

  当假设经济活动参与者数量足够多且其的效用函数为连续，税基随税率变化的函数将为一连续单调递减函数。

   二、税基税率曲线的拓展

   (一)直线型税基税率曲线

  随着税率的不断提高，经济活动参与者会不断的减少工作时间而去选择闲暇并且工作时间的减少为线性，因此，税基的减少也将是线性的，税基税率曲线的二阶导等于零，税率为零时税基最大，税率取到某一极限值时，税基减少到零。

  设此时的税基税率函数为：

  

  
在这种情况下，税基税率曲线为一条直线，图形描述见图1

图1 直线型税基税率曲线

  （二）凸离原点型税基税率曲线

  随着税率的不断提高，经济活动参与者会不断的减少工作时间并选择闲暇，但由于最初始单位时间内劳动收入的效用（提高生活品质的效用）远大于单位时间闲暇的效用，因此，工作时间的减少并不显著，所以税基的减少也不显著。但是随着税率的逐渐提高，单位时间内劳动收入的效用开始小于单位时间闲暇的效用，此时，工作时间的减少将非常明显，税基也显著减少。因此，税基的减少是非线性的，税基税率曲线的二阶导小于零。税率为零时税基最大，税率取到某一极限值时，税基减少到零。在这种情况下，税基税率曲线为一条凸离原点的曲线，图形描述见图2。

图 2 凸离原点型税基税率曲线

  
  (三)凸向原点型税基税率曲线

  随着税率的不断提高，经济活动参与者会不断的减少工作时间并选择闲暇，并且由于最初始单位时间内劳动收入的效用(提高生活品质的效用)远小于单位时间闲暇的效用，因此，工作时间的减少将非常显著，所以税基也显著减少。但是随着税率的逐渐提高，单位时间内劳动收入的效用(维持生存状态的效用)开始大于单位时间闲暇的效用，此时，工作时间的减少将变得不显著，税基的减少也不显著。因此，税基的减少是非线性的，税基税率曲线的二阶导大于零。税率为零时税基最大，税率取到某一极限值时，税基减少到零。

  设此时的税基税率函数为：

在这种情况下，税基税率曲线为一条凸向原点的曲线，图形描述见图3。

图3 凸向原点型税基税率曲线

三、税收税率曲线的拓展

  根据式（1），推导出税收税率曲线的基本函数形式为：

  

（一）对称型税收税率曲线（拉弗曲线）

  对称型税收税率曲线对应于直线型税基税率曲线，此时的税收税率曲线表现为拉弗曲线，也即拉弗曲线为税收税率曲线的特例。根据式（2）、式（5）推导出对应的税收税率曲线函数形式为：

  此时，税收税率曲线的示意图，如图4，为了在图形上将不同形态税收税率曲线与税基税率曲线对应，因此，在图4、图6、图8中保留了对应的税基税率曲线。

图4 对称型税收税率曲线

  从式（5）中可以看出，税收实际上是税率和税基的二元函数，因此，税率、税基、税收三者之间的关系在三维空间坐标中将得到更加充分的体现，在三维空间坐标中，笔者将表示税率、税基、税收函数关系的税收税率曲线称为FL曲线，FL曲线是在三维坐标空间下的税收税率曲线，因此，拉弗曲线也是FL曲线的特例，或者说FL曲线是拉弗曲线的扩展形态。。直线型税基税率曲线所对应的FL曲线示意图，如图5。

图 5 直线型税基税率曲线对应的FL曲线

（二）左偏型税收税率曲线

  左偏型税收税率曲线对应于凸离原点型税基税率曲线，根据式（3）、式（5）推导出对应的税收税率曲线函数形式为：

此时，税收税率曲线的示意图，如图6。

图6 左偏型税收税率曲线

凸离原点型税基税率曲线对应的FL曲线示意图，如图7。

图7 凸离原点型税基税率曲线对应的FL曲线

  （三）右偏型税收税率曲线
  右偏型税收税率曲线对应于凸向原点型税基税率曲线，根据式（4）、式（5）推导出对应的税收税率曲线函数形式为：

此时，税收税率曲线的示意图，如图8。

图8 右偏型税收税率曲线

凸向原点的税基税率曲线对应的FL曲线示意图，如图9。

图9 凸向原点型税基税率曲线对应的FL曲线

四、总结
  通过以上的探讨，笔者从二维平面坐标下的拉弗曲线，扩展到不同形态的税收税率曲线，又进一步扩展到三维空间坐标下的FL曲线，由此完成了税收税率曲线从二维到三维，从拉弗曲线到FL曲线的理论论述。

  针对所讨论的不同形态的税基税率曲线、税收税率曲线以及形成原因，笔者用具体的数学函数形式进行了分析，现在将所讨论的三种税基税率曲线、税收税率曲线的函数形式以及参数约束条件总结如下。

下面我们作一下税基税率曲线、税收税率曲线和FL曲线的主要特征总结：

１、不同形态的税基税率曲线、税收税率曲线以及形成原因总结，见表1。

表1：不同类型的税基税率曲线、税收税率曲线以及形成原因表

２、二维平面坐标下，税基税率曲线一阶导、二阶导情况和税收税率曲线极值点取值总结，见表2。

表 2：不同税基税率曲线一阶导、二阶导情况和税收税率曲线极值点取值表

3、三维空间坐标下，FL曲线中税基、税收最大值和税基、税收最小值点总结，见表3。

表3：三维空间坐标下FL曲线中税基和税收最大值、最小值点坐标表

  至此，笔者基于单位时间内劳动收入的效用和单位时间闲暇的效用的相对强弱变化对税基税率曲线的影响，讨论了不同形态的税基税率曲线以及所对应的税收税率曲线。给出了不同形态税基税率曲线的具体函数形式，推导出了相应的税收税率曲线的函数形式，对税基税率曲线和税收税率曲线的最大值点分别进行了计算。并且将税率、税基、税收三者之间的关系拓展到三维空间进行更加完整的FL曲线展示。

  （注：本文合作者刘洋，曾刊发于《税收经济研究》2013年第4期。本文是对拉弗曲线的完善和深化）